утром не заводиться со стартера после ночи
То есть, стартер не крутит?
Странно, поскольку 10 км маловато для зарядки настолько посаженного аккума...
Более точно можно говорить, если проконтролировать напряжение на аккуме в таких режимах:
1. после ночи, при вынутом предохранителе.
2. после ночи, при вставленном предохранителе и включенном скуте.
3. после ночи, во время запуска (пока нажата кнопка стартера).
4. после поездки, при вставленном предохранителе и включенном скуте.
5. после поездки, во время запуска.
Ушествие Второе. Окончательное.